เนื้อหา

• ขั้นตอน
• เคล็ดลับ

นักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์กราฟิกมักจะต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว โชคดีที่สูตรที่ใช้คำนวณมุมนี้ไม่ต้องการอะไรมากไปกว่าผลคูณสเกลาร์ธรรมดา แม้ว่าเหตุผลที่อยู่เบื้องหลังสูตรนี้จะเข้าใจได้ง่ายกว่าเมื่อใช้เวกเตอร์สองมิติ แต่เราสามารถปรับให้เป็นเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดายด้วยส่วนประกอบจำนวนเท่าใดก็ได้

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 ของ 2: คำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

1. 

   ระบุเวกเตอร์สองตัว เขียนข้อมูลที่ทราบทั้งหมดเกี่ยวกับเวกเตอร์สองตัว สำหรับจุดประสงค์ของบทช่วยสอนนี้เราจะสมมติว่าคุณรู้จักเวกเตอร์เฉพาะในแง่ของพิกัดมิติเท่านั้น (เรียกอีกอย่างว่า ส่วนประกอบ) หากคุณรู้จักไฟล์ โมดูล หรือ มาตรฐาน ของเวกเตอร์เหล่านี้ (นั่นคือความยาวของมัน) คุณสามารถข้ามขั้นตอนบางอย่างด้านล่างนี้ได้
   • ตัวอย่าง: เราจะพิจารณาเวกเตอร์สองมิติ = (2,2) และ = (0,3) เวกเตอร์ทั้งสองนี้สามารถเขียนใหม่เป็น = 2ผม + 2J e = 0ผม + 3J = 3J.
   • แม้ว่าตัวอย่างของเราจะใช้เวกเตอร์สองมิติสองมิติ แต่เราสามารถใช้คำแนะนำต่อไปนี้กับเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบจำนวนเท่าใดก็ได้

2. 

   
   
   เขียนสูตรโคไซน์. ในการหาค่าของมุมθระหว่างเวกเตอร์สองตัวใด ๆ เราต้องคำนวณโคไซน์ของมุมนั้นก่อน คุณสามารถค้นหาและค้นหาสูตรโดยละเอียดหรือเขียนตามที่อยู่ด้านล่าง:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| แสดงถึง โมดูล (หรือความยาว) ของเวกเตอร์ ".
   • •แสดงถึง ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ (หรือผลิตภัณฑ์ภายใน) ของเวกเตอร์สองตัว

3. 

   
   
   คำนวณโมดูลัสของเวกเตอร์แต่ละตัว ลองนึกภาพสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากส่วนประกอบ x ของเวกเตอร์ส่วนประกอบของมัน Y และเวกเตอร์เอง ในสามเหลี่ยมนี้เวกเตอร์มีบทบาทของด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นเพื่อหาความยาวของมันเราจะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้วยเหตุนี้สูตรนี้จึงสามารถใช้ได้อย่างง่ายดายกับเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบจำนวนเท่าใดก็ได้
   • || คุณ || = คุณ₁ + คุณ₂. หากเวกเตอร์มีส่วนประกอบมากกว่าสององค์ประกอบให้เพิ่ม + u ต่อไป₃ + คุณ₄ +...
   • ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์สองมิติเราจะต้อง || คุณ || = √ (คุณ₁ + คุณ₂).
   • ในตัวอย่างของเรา |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   คำนวณผลคูณสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์ คุณควรรู้วิธีการคูณเวกเตอร์ที่เรียกว่า ผลิตภัณฑ์สเกลาร์. ในการคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวในแง่ของส่วนประกอบเราจะคูณส่วนประกอบในทิศทางเดียวกันซึ่งกันและกันจากนั้นจึงเพิ่มผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์เหล่านั้น
   • หากคุณทำงานกับโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟิกขั้นแรกให้เข้าไปที่ส่วน "เคล็ดลับ" ก่อนดำเนินการต่อ
   • ในแง่คณิตศาสตร์ • = คุณ₁โวลต์₁ + คุณ₂โวลต์₂โดยที่ u = (u₁, ยู₂) หากเวกเตอร์ของคุณมีส่วนประกอบมากกว่าสององค์ประกอบให้เพิ่ม + u ต่อไป₃โวลต์₃ + คุณ₄โวลต์₄...
   • ในตัวอย่างของเรา• = u₁โวลต์₁ + คุณ₂โวลต์₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. นี่คือค่าของผลคูณสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์และ

5. 

   แทนผลลัพธ์เหล่านี้ในสูตรโคไซน์ จำไว้ว่าcosθ = (•) / (|||| || ||) เราได้คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลของเวกเตอร์สองตัวแล้ว ตอนนี้เรามาแทนที่ค่าเหล่านี้ในสูตรและคำนวณโคไซน์ของมุม
   • ในตัวอย่างของเราcosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2

6. 

   หามุมตามโคไซน์ของคุณ
   ใช้ฟังก์ชัน arc หรือ cos ของเครื่องคิดเลขเพื่อกำหนดมุมθจากค่าโคไซน์ของคุณ ในบางกรณีคุณอาจพบค่ามุมตามวงกลมหน่วย
   • ในตัวอย่างของเราcosθ = √2 / 2 พิมพ์ "arccos (√2 ​​/ 2)" ในเครื่องคิดเลขของคุณเพื่อหามุม อีกทางเลือกหนึ่งคือมองหามุมθของวงกลมหน่วยโดยที่cosθ = √2 / 2: นี่จะเป็นจริงสำหรับ θ = /₄ หรือ 45 °.
   • เมื่อนำข้อมูลทั้งหมดมารวมกันเราจะมีสูตรสุดท้ายθ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

ส่วนที่ 2 จาก 2: การกำหนดสูตรคำนวณมุม

1. 

   เข้าใจวัตถุประสงค์ของสูตร สูตรที่เราใช้ในการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวไม่ได้มาจากกฎที่มีอยู่ก่อน แทนมันถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นคำจำกัดความของผลคูณสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมัน อย่างไรก็ตามการตัดสินใจนี้ไม่ได้เป็นไปตามอำเภอใจ เมื่อมองอย่างใกล้ชิดเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานเราจะเห็นว่าเหตุใดสูตรนี้จึงให้คำจำกัดความที่มีประโยชน์และใช้งานง่ายเช่นนี้
   • ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้ประโยชน์จากเวกเตอร์สองมิติเนื่องจากเป็นประเภทที่ใช้งานง่ายที่สุด เวกเตอร์ของสามมิติขึ้นไปมีคุณสมบัติที่กำหนดจากสูตรทั่วไป (ในลักษณะที่คล้ายกันมาก)

2. 

   ทบทวนกฎโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ให้พิจารณามุมθที่เกิดจากด้านข้าง และ B และด้านข้าง ค ตรงข้ามมุมนั้น ตามกฎโคไซน์ c = a + b -2abเข็มขัด(θ) การสาธิตสูตรนี้สามารถหาได้ง่ายจากความรู้เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐาน

3. 

   เชื่อมเวกเตอร์สองตัวเพื่อสร้างสามเหลี่ยม วาดเวกเตอร์คู่หนึ่งและมีมุมθคั่นระหว่างพวกเขา จากนั้นวาดเวกเตอร์ที่สามระหว่างทั้งสองเพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยม กล่าวอีกนัยหนึ่งวาดเวกเตอร์ในลักษณะที่ + = หรือเพียงแค่ = -

4. 

   ใช้กฎโคไซน์กับสามเหลี่ยมนี้ แทนที่ความยาวด้านข้างของไฟล์ สามเหลี่ยมเวกเตอร์ (นั่นคือโมดูลเวกเตอร์) ในสูตรสำหรับกฎโคไซน์:
   • || (ก - ข) || = || ก || + || ข || - 2 || ก || || ข ||เข็มขัด(θ)

5. 

   เขียนสูตรใหม่โดยใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ จำไว้ว่าดอทโปรดัคคือการขยายเวกเตอร์หนึ่งที่ฉายบนอีกอัน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เองไม่จำเป็นต้องมีการฉายภาพเนื่องจากไม่มีการเปลี่ยนแปลงในทิศทาง ซึ่งหมายความว่า• = || a ||. จากข้อมูลนี้ลองเขียนสมการของกฎโคไซน์ใหม่:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || ก || || ข ||เข็มขัด(θ)

6. 

   ลดความซับซ้อนของสูตร ขยายผลคูณทางด้านซ้ายของสมการแล้วทำให้ง่ายขึ้นจนกว่าคุณจะไปถึงสูตรที่เรารู้สำหรับการคำนวณมุม
   • • - • - • + • = • + • - 2 || ก || || ข ||เข็มขัด(θ)
   • - • - • = -2 || ก || || ข ||เข็มขัด(θ)
   • -2 (•) = -2 || ก || || ข ||เข็มขัด(θ)
   • • = || ก || || ข ||เข็มขัด(θ)

เคล็ดลับ

• สำหรับการแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วให้ใช้สูตรต่อไปนี้กับคู่เวกเตอร์สองมิติ: cosθ = (u₁ • v₁ + คุณ₂ • v₂) / (√ (u₁ • ยู₂) •√ (v₁ • v₂)).
• หากคุณทำงานกับโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟิกคุณมักจะต้องรู้เฉพาะทิศทางของเวกเตอร์ไม่ใช่ความยาว ทำตามขั้นตอนด้านล่างเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้นและเร่งโปรแกรมของคุณ:
  • ทำให้เวกเตอร์แต่ละตัวเป็นมาตรฐานนั่นคือหาเวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์เดิม ในการทำเช่นนี้ให้แบ่งส่วนประกอบแต่ละส่วนของเวกเตอร์ด้วยโมดูลเวกเตอร์
  • คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ปกติไม่ใช่เวกเตอร์ดั้งเดิม
  • เนื่องจากโมดูลัส (นั่นคือความยาว) ของเวกเตอร์ที่ได้มาตรฐานนั้นรวมกันเราจึงสามารถปล่อยให้มันออกจากสูตรได้ สมการสุดท้ายสำหรับการคำนวณมุมจะเป็นส่วนโค้ง (•)
• จากสูตรของกฎโคไซน์เราสามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็วว่ามุมที่เป็นปัญหาเป็นมุมแหลมหรือมุมป้าน เริ่มต้นด้วยcosθ = (•) / (|||| ||||):
  • ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการต้องมีเครื่องหมายเดียวกัน (บวกหรือลบ)
  • เนื่องจากความยาวเป็นค่าบวกเสมอcosθจะมีเครื่องหมายเดียวกับผลคูณสเกลาร์เสมอ
  • ดังนั้นหากผลคูณสเกลาร์เป็นบวกcosθจะเป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามุมนั้นอยู่ในจตุภาคแรกของวงกลมหน่วยนั่นคือθ <π / 2 หรือ 90 ° ดังนั้นมุมจะเฉียบพลัน
  • หากผลคูณสเกลาร์เป็นลบcosθจะเป็นลบ ซึ่งหมายความว่ามุมอยู่ในจตุภาคที่สองของวงกลมหน่วยนั่นคือπ / 2 <θ≤πหรือ 90 ° <θ≤ 180 ° ดังนั้นมุมป้าน